四舵轮运动学模型

舵轮的运动学线性化

​ 假设车辆平动，车辆速度很低，轮胎所受横向力很小，速度矢量V的方向在点A和点B方向相同。车辆的状态用三个坐标描述x，y，δ表示，其中（x，y）代表车辆位置，δ表示车辆的航向角，是V与全局坐标系x轴的夹角。

在三角形OBQ中，根据正弦定理，有：

$$\frac{BQ}{sin \left(\phi-\theta_{1}-\beta\right)}=\frac{OQ}{sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta_{2}\right)} \\\tag{1}$$

同样，在三角形OAQ中，有：

$$\frac{AQ}{\sin \left(\phi-\theta_{2}-\beta\right)}=\frac{O Q}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta_{1}\right)} \\\tag{2}$$

OQ之间为R，根据(1)与(2)两个公式可得：

$$\left(\tan \theta_{1}-\tan \theta_{2}\right) \cos \beta=\frac{L_{f}+L_{r}}{R}\tag{3}$$

​ 根据假设，车辆行驶缓慢，假设车辆偏航角变化率为可近似等于车辆角速度W，可得：

$$\quad \dot{\psi}=\frac{V}{R}\tag{4}$$

将(4)带(3)入中得：

$$\dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{L_{f}+L_{r}}\left(\tan \theta_{1}-\tan \theta_{2}\right) \\\tag{5}$$

求出：

$$\beta=\arctan \left(\frac{L_{f} \tan \left(\theta_{2}\right)+L_{r} \tan \left(\theta_{1}\right)}{L_{f}+L_{r}}\right) \\\tag{6}$$

根据图上角度关系，易知表示小车沿X方向的速度，表示小车沿Y方向的速度：

$$\dot{X}=V \cos (\beta+\delta) \\ \dot{Y}=V \sin (\beta+\delta) \\\tag{7}$$

所以车辆的运动学模型为：

$$\left\{\begin{array}{c} \dot{X}=V \cos (\beta+\delta) \\ \dot{Y}=V \sin (\beta+\delta)\\ \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{L_{f}+L_{r}}\left(\tan \theta_{1}-\tan \theta_{2}\right) \end{array}\right.\tag{8}$$

在公式（5）中，此时，有

$$R=\frac{\sqrt{v_{x }^{2}+v_{y } ^{2}}}{\omega}\tag{6}$$

回到以重心为中心的单车模型，可知：

$$\delta_{f}=\tan ^{-1}\left(\frac{\omega_{}\left(L_{f}+L_{r}\right)}{2 \sqrt{v_{x }^{2}+v_{y } ^{2}}}\right) \quad\tag{7}$$

当然，在此图中，当滑移角β 很小时，且后轮偏角为0时，可近似为

$$\omega\approx\frac{v}{L}tan(\delta_{f})\tag{8}$$

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